Question

求拋物線y²=2x與直線y=4-x圍成的平面圖形的面積．

Answer 1

分析：由題設(shè)條件，需要先求出拋物線y²=2x與直線y=4-x的交點坐標(biāo)，積分時可以以x作為積分變量，也可以y作為積分變量，故本題法一以x為積分變量，法2以y作為積分變量分別計算出兩曲線所圍成的圖形的面積

解答：解：由方程組

y2=2x y=4-x

解出拋物線和直線的交點為（2，2）及（8，-4）…（2分）
解法1：選x作為積分變量，由圖可看出S=A₁+A₂
在A₁部分：由于拋物線的上半支方程為y=

2x

，下半支方程為y=-

2x

所以…（3分）SA1=

∫

2 0

[

2x

-(-

2x

)]dx=2

2

∫

2 0

x

1

2

dx…（5分）=2

2

•

2

3

x

3

2

|

2 0

=

16

3

…（7分）SA2=

∫

8 2

[4-x-(-

2x

)]dx…（9分）=(4x-

1

2

x2+

2 2

3

x

3

2

)

|

8 2

=

28

3

…（11分）
于是：S=

16

3

+

38

3

=18…（12分）
解法二：選y作積分變量，將曲線方程寫為x=

y2

2

及x=4-y…（2分）
S=

∫

2 -4

 [(4-y)-

y2

2

]dy…（6分
）=(4y-

y2

2

-

y3

6

)

|

2 -4

…（10分）

=30-12 =18

…（12分）

點評：本題考查定積分，解答本題關(guān)鍵是確定積分變量與積分區(qū)間，有些類型的題積分時選擇不同的積分變量，解題的難度是不一樣的，如本題法二比法一簡單多了，故求即時 要注意借鑒本題的經(jīng)驗，恰當(dāng)?shù)剡x擇積分變量達(dá)到簡單解題的目的