Question

4．已知二項(xiàng)式（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{x}$）ⁿ展開式中的各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和為128．
（Ⅰ）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)；
（Ⅱ）求展開式中所有的有理項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）二項(xiàng)式（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{x}$）ⁿ展開式中的各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和為128，即為各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為128，即2ⁿ=128，解得即可，當(dāng)r=4時(shí)，展開式中系數(shù)最大
（2）考慮通項(xiàng)公式中，x的指數(shù)為3的倍數(shù)的情況，即可得到個(gè)數(shù)

解答 解：（1）二項(xiàng)式（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{x}$）ⁿ展開式中的各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和為128，
即為各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為128，即2ⁿ=128得n=7，
則二項(xiàng)式（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{x}$）⁷展開式的通項(xiàng)為（-1）^rC₇^r${x}^{\frac{7-4r}{3}}$，
∵C₇³=C₇⁴=35，
∴當(dāng)r=4時(shí)，展開式中系數(shù)最大，
∴展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為35x^-3，
（2）當(dāng)$\frac{7-4r}{3}$為整數(shù)時(shí)，即r=7，4，1
∴展開式中所有的有理項(xiàng)（-1）⁷C₇⁷x^-7=-x^-7，或35x^-3，-7x

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式定理及運(yùn)用，考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)和二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．