Question

1．在平面直角坐標系中，已知點A（0，-2），B（0，4），動點P（x，y）滿足$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$-y²+8=0．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）設（1）中所求的軌跡與直線y=x+2交于C、D兩點，求證：OC⊥OD（O為坐標原點）．

Answer 1

分析 （1）點A（0，-2），B（0，4），動點P（x，y）滿足$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$-y²+8=0．利用數(shù)量積運算性質(zhì)即可得出．
（2）設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{{x}^{2}=2y}\end{array}\right.$，化簡利用根與系數(shù)的關系、向量垂直與數(shù)量積的關系即可得出．

解答 解：（1）∵點A（0，-2），B（0，4），動點P（x，y）滿足$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$-y²+8=0．
∴-x•（-x）+（-2-y）•（4-y）-y²+8=0．
化為：x²=2y．
（2）證明：設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{{x}^{2}=2y}\end{array}\right.$，化為：x²-2x-4=0．
∴x₁+x₂=2，x₁•x₂=-4，
∴y₁y₂=（x₁+2）（x₂+2）=2（x₁+x₂）+x₁•x₂+4，
∴$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}$=x₁•x₂+y₁y₂=2（x₁+x₂）+2x₁•x₂+4=4-8+4=0．
∴OC⊥OD．

點評 本題考查了向量數(shù)量積運算性質(zhì)、拋物線的標準方程、直線與拋物線相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．