【題目】如圖,在空間幾何體A﹣BCDE中,底面BCDE是梯形,且CD∥BE,CD=2BE=4,∠CDE=60°,△ADE是邊長為2的等邊三角形,F(xiàn)為AC的中點. (Ⅰ)求證:BF∥平面ADE;
(Ⅱ)若AC=4,求證:平面ADE⊥平面BCDE;
(Ⅲ)若AC=4,求幾何體C﹣BDF的體積.

【答案】證明:(Ⅰ)取DA的中點G連結FG,GE,
∵F為AC的中點,∴ ,
又∵DC∥BE,CD=2BE,∴EB∥GF,且EB=GF,
∴四邊形BFGE為平行四邊形,∴BF∥EG,
∵EG平面ADE,BF平面ADE,
∴BF∥平面ADE
解:(Ⅱ)取DE的中點H,連AH,CH,

∵△ADE為等邊三角形,∴AH⊥DE,且 ,
在△DHC中,DH=1,DC=4,HDC=60°,∴
∴AC2=AH2+HC2 , 即AH⊥HC,∵DE∩HC=H,
∴AH⊥平面BCDE,∵AH平面ADE,
∴平面ADE⊥BCDE…(8分)
(Ⅲ) = =2,
∵F是AC中點,
∴幾何體C﹣BDF的體積
【解析】(Ⅰ)取DA的中點G連結FG,GE,推導出四邊形BFGE為平行四邊形,從而BF∥EG,由此能證明BF∥平面ADE.(Ⅱ)取DE的中點H,連AH,CH,推導出AH⊥DE,AH⊥HC,從而AH⊥平面BCDE,由此能證明平面ADE⊥BCDE.(Ⅲ)幾何體C﹣BDF的體積 ,由此能求出結果.
【考點精析】掌握平面與平面垂直的判定是解答本題的根本,需要知道一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直.

練習冊系列答案
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