Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=0，且an+1=an+

1

4

+

1+4an

2

．  
（Ⅰ）求a₂的值；
（Ⅱ）設(shè)

1 4 +an

=bn，試判斷數(shù)列{b_n}是否為等差數(shù)列？并求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（Ⅲ）設(shè)g(n)=

1

bn+1

+

1

bn+2

+

1

bn+3

+…+

1

b2n

，且g（n）≥m（m∈R）對任意n＞1，n∈N^*都成立，求m的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a₁=0，且a_n+1=a_n+

1

4

+

1+4an

2

，能求出a₂．
（Ⅱ）由

1 4 +an

=bn，知a_n=b_n²-

1

4

，代入an+1=an+

1

4

+

1+4an 2

得到：

b

2 n+1

=(bn+

1

2

)2，由此能判斷數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，并能求出數(shù)列{b_n}的通項公式．
（Ⅲ）要使g（n）≥m（m∈R）對任意n＞1，n∈N^*都成立，只須m≤[g（n）_min]．由此能求出m的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵a₁=0，且a_n+1=a_n+

1

4

+

1+4an

2

，
∴a₂=

1

4

+

1

2

=

3

4

．
（Ⅱ）∵

1 4 +an

=bn，
∴a_n=b_n²-

1

4

，代入an+1=an+

1

4

+

1+4an 2

得到：

b

2 n+1

=(bn+

1

2

)2，
∵b_n＞0，
∴b_n+1-b_n=

1

2

，所以數(shù)列{bn}是以b1=

1

2

為首項，公差為

1

2

的等差數(shù)列．b_n=

1

2

+(n-1)•

1

2

=

1

2

n．即數(shù)列{bn}的通項公式為bn=

1

2

n．
（Ⅲ）要使g（n）≥m（m∈R）對任意n＞1，n∈N^*都成立，只須m≤[g（n）_min].

∵g(n)= 1 bn+1 + 1 bn+2 + 1 bn+3 +…+ 1 b2n =2( 1 n+1 + 1 n+2 + 1 n+3 +…+ 1 2n )

，∴g(n+1)-g(n)=2(

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

)=

1

(2n+1)•(n+1)

＞0，∴g（n）是增的，
∴[g(n)]min=g(2)=2•(

1

3

+

1

4

)=

7

6

，
∴m的最大值為

7

6

．

點評：本題考查數(shù)列和不等式的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．