Question

16．已知函數(shù)（x）=（2cos²x-1）sin2x+$\frac{1}{2}$cos4x．
（1）求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若α是第二象限角，且f（α）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求α的值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（4x+$\frac{π}{4}$），由此能求出f（x）的最小正周期、單調(diào)遞增區(qū)間的求法．
（2）由α是第二象限角，且f（α）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，從而f（α）=$\frac{\sqrt{2}}{2}sin（4α+\frac{π}{4}）$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由此能求出α．

解答 解：（1）∵f（x）=（2cos²x-1）sin2x+$\frac{1}{2}$cos4x
=cos2xsin2x+$\frac{1}{2}cos4x$
=$\frac{1}{2}（sin4x+cos4x）$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（4x+$\frac{π}{4}$），
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$，
單調(diào)遞增區(qū)間滿足：$2kπ-\frac{π}{2}≤4x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得$\frac{kπ}{2}-\frac{3π}{16}≤x≤\frac{kπ}{2}+\frac{π}{16}$，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[$\frac{kπ}{2}-\frac{3π}{16}$，$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{16}$]．
（2）∵α是第二象限角，且f（α）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴f（α）=$\frac{\sqrt{2}}{2}sin（4α+\frac{π}{4}）$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得4α+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，即α=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{16}$，k∈Z，
∵α是第二象限角，∴α=2kπ+$\frac{9π}{16}$，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的最小正周期、函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間的求法，考查角的求法，考查二倍角公式、三角函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．