Question

5．已知tan α=$\frac{1}{2}$．求：
（1）$\frac{sinα-3cosα}{sinα+cosα}$的值；
（2）sin²α+sin αcos α+2cos²α的值．

Answer 1

分析 （1）由于已知tanα，故考慮把所求的式子化為正切的形式，結(jié)合tanα=$\frac{sinα}{cosα}$，可知把所求的式子分子、分母同時(shí)除以cosα即可計(jì)算得解；
（2）同（1）的思路，但所求式子沒(méi)有分母，從而先變形為分式的形式，分母添1，而1=sin²α+cos²α，以下同（1）即可得解．

解答 解：（1）∵tanα=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{sinα-3cosα}{sinα+cosα}$=$\frac{tanα-3}{tanα+1}$=$\frac{\frac{1}{2}-3}{\frac{1}{2}+1}$=-$\frac{5}{3}$．
（2）sin²α+sin αcos α+2cos²α=$\frac{si{n}^{2}α+sinαcosα+2co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=$\frac{ta{n}^{2}α+tanα+2}{ta{n}^{2}α+1}$=$\frac{\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+2}{\frac{1}{4}+1}$=$\frac{11}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)求值化簡(jiǎn)中的常用技巧：已知tanα，求形如①$\frac{asinα+bcosα}{csinα+dcosα}$，②asin²α+bsinαcosα+ccos²α，對(duì)于①常在分子、分母上同時(shí)除以cosα，對(duì)于②要先在分母上添上1，1=sin²α+cos²α，然后分子、分母同時(shí)除以cos²α，從而把所求的式子化簡(jiǎn)為含有“切”的形式，屬于基礎(chǔ)題．