Question

3．設(shè)定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=-f（x），且當(dāng)x∈（-2，0]時，f（x）=log₂（2-x）+2，則 f（2014.5）=log₂7+1．

Answer 1

分析 由已知中函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=-f（x），可得函數(shù)的周期為4，進(jìn)而可得f（2014.5）=f（-1.5），代入可得答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x），
∴函數(shù)f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，
又∵2014.5÷4=503…2.5，
∴f（2014.5）=f（2.5）=f（-1.5），
∵當(dāng)x∈（-2，0]時，f（x）=log₂（2-x）+2，
∴f（-1.5）=log₂（2+1.5）+2=log₂$\frac{7}{2}$+2=log₂7+1，
故答案為：log₂7+1

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的周期性，函數(shù)求值，對數(shù)的運算性質(zhì)，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的簡單綜合應(yīng)用，難度中檔．