Question

已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為4；橢圓的離心率，且過拋物線的焦點(diǎn).

（I）求拋物線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）過點(diǎn)的直線交拋物線于、兩不同點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，已知，求證：為定值.

（III）直線交橢圓于，兩不同點(diǎn)，，在軸的射影分別為，，，若點(diǎn)S滿足：，證明：點(diǎn)S在橢圓上.

Answer 1

解析：（Ⅰ）拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為；

拋物線的準(zhǔn)線為

拋物線上點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離

所以,所以

拋物線的方程為          

橢圓的離心率,且過拋物線的焦點(diǎn)

所以，,解得

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為      

 (Ⅱ)直線的斜率必存在,設(shè)為,設(shè)直線與橢圓交于

則直線的方程為,

聯(lián)立方程組:

所以

,所以  (*)     

由得:

得:              

所以

將(*)代入上式,得     

(Ⅲ)設(shè)

所以,則

由得(1)            

,(2)    (3)

(1)+(2)+(3)得:

即滿足橢圓的方程

命題得證