Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為，

x=2+tcosa y=1+tsina

（t是參數(shù)0≤a＜x）以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ²=

2

1+cos2θ

（1）求曲線C₁的普通方程和曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）當(dāng)α=

π

4

時，曲線C₁和C₂相交于M、N兩點，求以線段MN為直徑的圓的直角坐標(biāo)方程．

Answer 1

考點：圓的參數(shù)方程,簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：選作題,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即得曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）聯(lián)立C₁，C₂的方程消去y得3x²-2x-1=0，求出|MN|，圓心，即可得到以線段MN為直徑的圓的直角坐標(biāo)方程．

解答： 解：（1）對于曲線C₁消去參數(shù)t得：
當(dāng)α≠

π

2

時，y-1=tanα（x-2）；當(dāng)α=

π

2

時，x=2．（3分）
對于曲線C₂：ρ²+ρ²cos²θ=2，∴x²+y²+x²=2，則x²+

y2

2

=1．（5分）
（2）當(dāng)α=

π

4

時，曲線C₁的方程為x-y-1=0，聯(lián)立C₁，C₂的方程消去y得3x²-2x-1=0，
∴|MN|=

2

×

( 2 3 )2+ 4 3

=

4 2

3

，圓心為（

1

3

，-

2

3

），
從而所求圓方程為（x-

1

3

）²+（y+

2

3

）²=

8

9

．（10分）

點評：本小題主要考查圓和直線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，以及直線與圓的位置關(guān)系等基本方法，屬于基礎(chǔ)題．