已知圓M和圓P:x2+y2-2
2
x-10=0相內(nèi)切,且過(guò)定點(diǎn)Q(-
2
,0).
(Ⅰ)求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程;
(Ⅱ)不垂直于坐標(biāo)的直線l與動(dòng)圓圓心M的軌跡交于A、B兩點(diǎn),且線段AB的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,-
1
2
),求△AOB(O為原點(diǎn))面積的最大值.
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題,軌跡方程
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析:(I)由已知得M的軌跡是以(-
2
,0),(
2
,0)為焦點(diǎn),2
3
為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓,由此能求出動(dòng)圓圓心M的軌跡方程.
(II)設(shè)AB的方程為y=kx+t,代入橢圓方程得到(3k2+1)x2+6ktx+3t2-3=0,由此利用韋達(dá)定理、橢圓弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合已知條件能求出△AOB(O為原點(diǎn))面積的最大值.
解答: 解:(I)由已知|MP|=2
3
-|MQ|,即|MP|+|MQ|=2
3
,…(2分)
且2
3
大于|PQ|,…(3分)
所以M的軌跡是以(-
2
,0),(
2
,0)為焦點(diǎn),2
3
為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓,
即其方程為
x2
3
+y2=1
.…(5分)
(II)設(shè)AB的方程為y=kx+t,
代入橢圓方程得到(3k2+1)x2+6ktx+3t2-3=0,
△=4(9k2+3-3t2)>0,即3k2+1>t2,①方程有兩個(gè)不同的解,…(6分)
x1+x2=
-6kt
3k2+1
x1+x2
2
=
-3kt
3k2+1
,
y1+y2
2
=
t
3k2+1
,…(7分)
y1+y2
2
+
1
2
0-
x1+x2
2
=-
1
k
,
化簡(jiǎn)得到3k2+1=4t,②…(8分)
得到0<t<4,
又原點(diǎn)到直線的距離為d=
|t|
k2+1
,…(9分)
|AB|=
1+k2
|x1-x2|=
1+k2
4(9k2+3-3k2)
3k2+1
,…(10分)
S△AOB=
1
2
|AB||d|
=
1
2
|t|
k2+1
4(9k2+3-3t2)
3k2+1
,
化簡(jiǎn)得到S△AOB=
1
4
3(4t-t2)
,
所以當(dāng)t=2時(shí),即k=±
7
3
…(11分)
S△AOB取得最大值
3
2
.…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題動(dòng)圓圓心的軌跡方程的求法,考查三角形面積的最大值的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意韋達(dá)定理、橢圓弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為,
x=2+tcosa
y=1+tsina
(t是參數(shù)0≤a<x)以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2=
2
1+cos2θ

(1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)當(dāng)α=
π
4
時(shí),曲線C1和C2相交于M、N兩點(diǎn),求以線段MN為直徑的圓的直角坐標(biāo)方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=
-2x+b
2x+1+a
是奇函數(shù).
(Ⅰ)求a、b的值;
(Ⅱ)求函數(shù)g(x)=(logax)2-logax2-2b在x∈[
1
2
,4]上的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn,且a3=3,S15=120.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an;
(2)設(shè)bn=n•2an,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在如圖所示的幾何體中,平面ACE⊥平面ABCD,四邊形ABCD為平行四邊形,∠ACB=90°,EF∥BC,AC=BC=2,AE=EC=
2

(Ⅰ)求證:AE⊥平面BCEF;
(Ⅱ)求三棱錐D-ACE的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下四個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù).
(1)sin212°+sin248°+sin12°sin48°
(2)sin215°+sin245°+sin15°sin45°
(3)sin2(-12°)+sin272°+sin(-12°)sin72°
(4)sin2(-15°)+sin275°+sin(-15°)sin75°
(Ⅰ)試從上述四個(gè)式子中選擇一個(gè),求出這個(gè)常數(shù)
(Ⅱ) 根據(jù)(Ⅰ)的計(jì)算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣成三角恒等式,并證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓Γ:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,橢圓的上頂點(diǎn)和兩焦點(diǎn)連線構(gòu)成等邊三角形且面積為
3

(Ⅰ)求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若直線l:x=my+q(m≠0)與橢圓Γ交于不同的兩點(diǎn)A、B,設(shè)點(diǎn)A關(guān)于橢圓長(zhǎng)軸的對(duì)稱點(diǎn)為A1,試求A1、F、B三點(diǎn)共線的充要條件.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)f(x)=2x3+ax2+bx+1的導(dǎo)數(shù)為f′(x),若函數(shù)y=f′(x)的圖象關(guān)于直線x=-
1
2
對(duì)稱,且函數(shù)f(x)在x=1處取得極值.
(I)求實(shí)數(shù)a,b的值;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

甲射擊命中目標(biāo)的概率是
1
2
,乙射擊命中目標(biāo)的概率是
1
4
,丙射擊命中目標(biāo)的概率是
1
12
.現(xiàn)在三人同時(shí)射擊目標(biāo),則目標(biāo)被擊中的概率是
 

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