Question

14．若點(diǎn)O為△ABC外接圓的圓心，⊙O的半徑r=2.5，M為△ABC的垂心，弦AB=3，則$\overrightarrow{MO}•\overrightarrow{BC}$的最大值為3．

Answer 1

分析 建立空間坐標(biāo)系，根據(jù)三角形外心和垂心的性質(zhì)，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算即可得到結(jié)論．

解答 解：建立以O(shè)為圓心，AB的中垂線所在的直線為y軸的直角坐標(biāo)系如圖，
∵弦AB=3，⊙O的半徑r=2.5，
∴AD=$\frac{3}{2}$，OD=$\sqrt{O{A}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}-（\frac{3}{2}）^{2}}=2$，
即A（$\frac{3}{2}$，2），B（-$\frac{3}{2}$，2），
則$\overrightarrow{MO}•\overrightarrow{BC}$=（$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AO}$）•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$，
∵M(jìn)是垂心，∴$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{BC}$=0，
即$\overrightarrow{MO}•\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$，
設(shè)C（$\frac{5}{2}$cosα，$\frac{5}{2}$sinα），
則$\overrightarrow{AO}$=（-$\frac{3}{2}$，-2），$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{5}{2}$cosα+$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$sinα-2），
則$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=（-$\frac{3}{2}$，-2）•（$\frac{5}{2}$cosα+$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$sinα-2）
=-$\frac{3}{2}$×（$\frac{5}{2}$cosα+$\frac{3}{2}$）-2×（$\frac{5}{2}$sinα-2）
=-$\frac{15}{4}$cosα-5sinα+$\frac{7}{4}$
=$-\frac{5}{4}$sin（α+φ）+$\frac{7}{4}$，其中φ為參數(shù)，
則當(dāng)sin（α+φ）=-1，$-\frac{5}{4}$sin（α+φ）+$\frac{7}{4}$取得最大值$\frac{5}{4}$+$\frac{7}{4}$=3，
故答案為：3

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)量積的應(yīng)用，根據(jù)條件建立直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的運(yùn)算是解決本題的關(guān)鍵．