Question

19．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，點D在邊BC上，橢圓G以A，D為焦點，且經(jīng)過B，C，現(xiàn)以線段AD所在直線為x軸，線段AD的中點O為坐標原點建立直角坐標系．
（1）求橢圓G的方程；
（2）Q（$\frac{\sqrt{5}}{2}$，1）為橢圓G內(nèi)的一定點，點P是橢圓上的一動點，求PQ+PD的最值；
（3）設橢圓G分別與x，y正半軸交于M，N兩點，且y=kx（k＞0）與橢圓G相交于E、F兩點，求四邊形MENF面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）運用橢圓的定義，可得4a=12，解得a=3，再由定義可得CD=2，運用勾股定理可得AD，結合橢圓的a，b，c的關系，可得b，進而得到橢圓方程；
（2）運用橢圓的定義和三角形的三邊關系，即可得到最值；
（3）聯(lián)立直線y=kx和橢圓方程，解得E，F(xiàn)的坐標，再由三角形的面積公式可得四邊形MENF面積為S=$\frac{1}{2}$|ON|•|x_E-x_F|+$\frac{1}{2}$|OM|•|y_E-y_F|，代入化簡整理，再由基本不等式即可得到最大值．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
即有AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
由橢圓的定義可得AB+BC+AC=4a=12，
解得a=3，即有CD=2a-4=2，
由勾股定理可得AD=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
即有c=$\sqrt{5}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=2，
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）由（1）可得A（-$\sqrt{5}$，0），D（$\sqrt{5}$，0），
由橢圓定義可得PQ+PD=PQ+6-PA=6-（PA-PQ），
由|PA-PQ|≤|AQ|=$\sqrt{（\frac{3\sqrt{5}}{2}）^{2}+1}$=$\frac{7}{2}$，
即有-$\frac{7}{2}$≤PA-PQ≤$\frac{7}{2}$，當且僅當A，P，Q三點共線，等號成立．
即有PQ+PD的最小值為6-$\frac{7}{2}$=$\frac{5}{2}$，最大值為6+$\frac{7}{2}$=$\frac{19}{2}$；
（3）由y=kx代入橢圓方程可得（4+9k²）x²=36，
解得x=±$\frac{6}{\sqrt{4+9{k}^{2}}}$，y=±$\frac{6k}{\sqrt{4+9{k}^{2}}}$，
可設E（$\frac{6}{\sqrt{4+9{k}^{2}}}$，$\frac{6k}{\sqrt{4+9{k}^{2}}}$），F(xiàn)（-$\frac{6}{\sqrt{4+9{k}^{2}}}$，-$\frac{6k}{\sqrt{4+9{k}^{2}}}$），
又M（3，0），N（0，2），
四邊形MENF面積為S=$\frac{1}{2}$|ON|•|x_E-x_F|+$\frac{1}{2}$|OM|•|y_E-y_F|
=$\frac{12}{\sqrt{4+9{k}^{2}}}$+$\frac{3}{2}$•$\frac{12k}{\sqrt{4+9{k}^{2}}}$=$\frac{6（2+3k）}{\sqrt{4+9{k}^{2}}}$=6$\sqrt{1+\frac{12}{9k+\frac{4}{k}}}$
≤6$\sqrt{1+\frac{12}{2\sqrt{36}}}$=6$\sqrt{2}$，
當且僅當9k=$\frac{4}{k}$即k=$\frac{2}{3}$時，取得最大值．
則有當k=$\frac{2}{3}$時，四邊形MENF面積的最大值為4$\sqrt{2}$．

點評 本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的定義和方程的運用，聯(lián)立直線方程求交點，同時考查三角形的面積和基本不等式的運用，注意公式的靈活應用，屬于中檔題．