Question

5．函數(shù)y=f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{16}{x^2}（0≤x≤2）\\{（\frac{1}{2}）^x}（x＞2）\end{array}$，若關(guān)于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0，a，b∈R有且僅有6個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-$\frac{5}{2}$，-$\frac{1}{4}$）
• B． （-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{4}$）
• C． （-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{4}$）∪（-$\frac{1}{4}$，-$\frac{1}{8}$）
• D． （-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{8}$）

Answer 1

分析 作函數(shù)f（x）的圖象，從而可化條件為方程x²+ax+b=0有兩個(gè)根，且x₁=$\frac{1}{4}$，0＜x₂＜$\frac{1}{4}$；從而求a的取值范圍．

解答 解：由題意，作函數(shù)f（x）的圖象如下，

由圖象可得，0≤f（x）≤f（2）=$\frac{1}{4}$；
∵關(guān)于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0，a，b∈R有且僅有6個(gè)不同實(shí)數(shù)根，
∴方程x²+ax+b=0有兩個(gè)根，不妨設(shè)為x₁，x₂；
且x₁=$\frac{1}{4}$，0＜x₂＜$\frac{1}{4}$；
又∵-a=x₁+x₂，
∴a∈（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{4}$）；
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的圖象的作法與數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用，屬于中檔題．