【題目】設f(x)= (a>0,b>0).
(1)當a=b=1時,證明:f(x)不是奇函數(shù);
(2)設f(x)是奇函數(shù),求a與b的值;
(3)在(2)的條件下,試證明函數(shù)f(x)的單調性,并解不等式f(1﹣m)+f(1+m2)<0.

【答案】
(1)解:當a=b=1時,f(x)= = ,∴ ,

所以,f(﹣1)≠﹣f(1),∴f(x)不是奇函數(shù)


(2)解:若f(x)是奇函數(shù)時,f(﹣x)=﹣f(x),即 =﹣ 對定義域內任意實數(shù)x成立.

化簡整理得(2a﹣b)22x+(2ab﹣4)2x+(2a﹣b)=0,這是關于x的恒等式,

,∴ ,或

經檢驗, 符合題意


(3)解: ,

在定義域中任取兩個實數(shù)x1、x2,且x1<x2,則 ,

∵x1<x2,∴ ,從而f(x1)﹣f(x2)>0,∴函數(shù)f(x)在R上為單調減函數(shù).

∴f(1﹣m)+f(1﹣m2)<0,即 f(1﹣m)<﹣f(1﹣m2),∴f(1﹣m)<f(m2﹣1),

∴1﹣m>m2﹣1,求得﹣2<m<1,∴原不等式的解集為(﹣2,1)


【解析】(1)舉反例,根據f(﹣1)≠﹣f(1),可得f(x)不是奇函數(shù).(2)根據f(﹣x)=﹣f(x)恒成立,求得a與b的值.(3)在定義域中任取兩個實數(shù)x1、x2 , 且x1<x2 , 求得f(x1)>f(x2),可得函數(shù)f(x)在R上為單調減函數(shù).化簡不等式為f(1﹣m)<f(m2﹣1),
可得 1﹣m>m2﹣1,由此求得原不等式的解集.
【考點精析】通過靈活運用函數(shù)單調性的判斷方法和函數(shù)的奇偶性,掌握單調性的判定法:①設x1,x2是所研究區(qū)間內任兩個自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大;③作差比較或作商比較;偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱;奇函數(shù)的圖象關于原點對稱即可以解答此題.

練習冊系列答案
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【題目】已知函數(shù).

1)試討論函數(shù)的單調性;

2)若不等式在區(qū)間上恒成立,的取值范圍,并證明:

.

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年齡

[5,15)

[15,25)

[25,35)

[35,45)

[45,55)

[55,65)

頻數(shù)

5

10

15

10

5

5

支持“生育二胎”

4

5

12

8

2

1


(1)由以上統(tǒng)計數(shù)據填下面2×2列聯(lián)表;

年齡不低于45歲的人

年齡低于45歲的人

合計

支持“生育二胎”

a=

c=

不支持“生育二胎”

b=

d=

合計


(2)判斷是否有99%的把握認為以45歲為分界點對“生育二胎放開”政策的支持度有差異.

P(K2≥k)

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

附表:K2=

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A.y=
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C.y=
D.y=

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