Question

城市內(nèi)環(huán)高架能改善整個(gè)城市的交通狀況，在一般情況下，高架上的車流速度v（單位：千米/小時(shí)）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)．當(dāng)高架上的車流密度達(dá)到188輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過28輛/千米時(shí)，車流速度為80千米/小時(shí)．研究表明：當(dāng)28≤x≤188時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．
（1）當(dāng)0≤x≤188時(shí)，求車流速度v關(guān)于車流密度x的函數(shù)解析式；
（2）若車流速度v不低于50千米/小時(shí)，求車流密度x為多大時(shí)，車流量f（x）（單位時(shí)間內(nèi)通過高架橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí)，車流量=車流密度×車流速度）可以達(dá)到最大，并求出最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)0≤x≤28時(shí)，v=80；當(dāng)28≤x≤188時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)，利用待定系數(shù)法，即可求得函數(shù)表達(dá)式．
（2）由（1）得：f（x）=v（x）•x=

80x，0≤x≤28 - 1 2 x2+94x，28≤x≤188

，結(jié)合一次函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性，求出f（x）的最大值，可得答案．

解答： 解：（1）由題意：當(dāng)0≤x≤28時(shí)，車流速度為80千米/小時(shí)，所以v（x）=80；
當(dāng)28≤x≤188時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)，設(shè)v（x）=ax+b．
∵當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到188輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；
當(dāng)車流密度不超過28輛/千米時(shí)，車流速度為80千米/小時(shí)，
∴

188k+b=0 28k+b=80

，
∴a=-

1

2

，b=94，
故函數(shù)v（x）的表達(dá)式為v（x）=

80，0≤x≤28 - 1 2 x+94，28≤x≤188

；
（2）由（1）得：f（x）=v（x）•x=

80x，0≤x≤28 - 1 2 x2+94x，28≤x≤188

，
當(dāng)0≤x≤28時(shí)，f（x）為增函數(shù)，此時(shí)當(dāng)x=28時(shí)，f（x）取最大值2240；
當(dāng)28≤x≤188時(shí)，f（x）的圖象為開口朝下，且以直線x=94為對(duì)稱軸的拋物線，
由-

1

2

x+94≥50，故x≤88，
則由28≤x≤88時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，此時(shí)當(dāng)x=88時(shí)，f（x）取最大值4400；
故當(dāng)x=88時(shí)，f（x）取最大值4400；
答：當(dāng)x=88時(shí)，車流量f（x）可以達(dá)到最大，最大值為4400輛．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查學(xué)生閱讀能力，解題的關(guān)鍵是分段求出函數(shù)解析式．