Question

△ABC中，∠BCA=90°，AB=1，過C作CD⊥AB于D，過A作AE⊥AC，CD的延長(zhǎng)線交AE于E，設(shè)∠B=θ，θ是變量．
（1）求證：CD-DE=tanθ•cos2θ；
（2）記y=

6

5

(CA+CB)-CD，求y的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：計(jì)算題,證明題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)，銳角三角函數(shù)的定義，求得CD，DE，再由二倍角公式和同角公式化簡(jiǎn)即可得證；
（2）求出函數(shù)y的解析式，運(yùn)用換元法令t=sinθ+cosθ，求出t的范圍，兩邊平方，可得t的函數(shù)式，運(yùn)用二次函數(shù)的最值求法，即可得到所求最值．

解答： （1）證明：CD=BCsinθ=ABcosθsinθ=sinθcosθ，
DE=ADtanθ=CAsinθtanθ=ABsin²θtanθ=sin²θtanθ，
CD-DE=sinθcosθ-sin²θtanθ=tanθ（cos²θ-sin²θ）=tanθ•cos2θ；
（2）解：y=

6

5

(CA+CB)-CD=

6

5

（sinθ+cosθ）-sinθcosθ
=

6

5

（sinθ+cosθ）-

(sinθ+cosθ)2-1

2

，
令t=sinθ+cosθ=

2

sin（θ+

π

4

），
由于0＜θ＜

π

2

，則

π

4

＜θ+

π

4

＜

3π

4

，則1＜t≤

2

，
則y=

6

5

t-

t2-1

2

=-

1

2

（t-

6

5

）²+

61

50

．
當(dāng)t=

6

5

時(shí)，y取得最大值

61

50

；
當(dāng)t=

2

時(shí)，y取得最小值為

6 2

5

-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，考查二倍角公式及兩角和的正弦公式的運(yùn)用，考查換元法的運(yùn)用，考查二次函數(shù)的最值求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．