Question

（（本小題滿分12分）設函數(shù)的圖象關于原點對稱，且=1時，f(x)取極小值。

(1)求的值；

 (2)若時，求證：。

 

Answer 1

【答案】

解答(1) ∵函數(shù)f(x)圖象關于原點對稱，∴對任意實數(shù)x，都有f(-x)=- f(x).

∴-ax³-2bx²-cx+4d=-ax³+2bx²-cx-4d，即bx²-2d=0恒成立.

∴b=0,d=0,即f(x)=ax³+cx.   ∴f′(x)=3ax²+c.

∵x=1時,f(x)取極小值-.   ∴f′(1)=0且f(1)=- ,

即3a+c=0且a+c=-.  解得a=,c=-1………………………………….6分

 (2)證明：∵f′(x)=x²-1,由f′(x)=0,得x=±1.

當x∈(-∞，-1)或（1，+∞）時，f′(x)＞0; 當 x∈(-1，1)時，f′(x)＜0.

∴f(x)在[-1,1]上是減函數(shù)，且f_max(x)=f(-1)= , f_min(x)=f(1)= -.

∴在[-1,1]上，|f(x)|≤.

于是x₁,x₂∈[-1,1]時，|f(x₁)-f(x₂)|≤=+=.

故x₁,x₂∈[-1,1]時,|f(x₁)-f(x₂)|≤………………………………………….12分

 

【解析】略