Question

【題目】某學(xué)生為了測(cè)試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)，并獲得了煤氣開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與燒開一壺水所用時(shí)間的一組數(shù)據(jù)，且作了一定的數(shù)據(jù)處理（如下表），得到了散點(diǎn)圖（如下圖）.

表中，.

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)更適宜作燒水時(shí)間關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類型？（不必說(shuō)明理由）

（2）根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；

（3）若單位時(shí)間內(nèi)煤氣輸出量與旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)成正比，那么，利用第（2）問求得的回歸方程知為多少時(shí)，燒開一壺水最省煤氣？

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)值分別為，

Answer 1

【答案】（1）選取更合適；（2）；（3）時(shí)，煤氣用量最小.

【解析】

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖的特點(diǎn)，可得更適合；

（2）先建立關(guān)于的回歸方程，再得出關(guān)于的回歸方程；

（3）寫出函數(shù)關(guān)系，利用基本不等式得出最小值及其成立的條件.

（1）選取更適宜作燒水時(shí)間關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類型；

（2）

由公式可得：，

，

所以所求回歸直線方程為：；

（3）根據(jù)題意，設(shè)，

則煤氣用量，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，

即時(shí)，煤氣用量最小.