Question

4．等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，2a₅，a₄，4a₆成等差數(shù)列，且滿足a₄=4a₃²．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{（1-{a}_{n}）（1-{a}_{n+1}）}$，n∈N^*，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （I）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，由2a₅，a₄，4a₆成等差數(shù)列，可得2a₄=2a₅+4a₆，化為：2q²+q-1=0，q＞0，解得q．又滿足a₄=4a₃²，化為：1=4a₁q，解得a₁．可得a_n．
（II）b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{（1-{a}_{n}）（1-{a}_{n+1}）}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，n∈N^*，利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：（I）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，∵2a₅，a₄，4a₆成等差數(shù)列，∴2a₄=2a₅+4a₆，∴2a₄=2a₄（q+2q²），
化為：2q²+q-1=0，q＞0，解得q=$\frac{1}{2}$．
又滿足a₄=4a₃²，∴${a}_{1}{q}^{3}$=4$（{a}_{1}{q}^{2}）^{2}$，化為：1=4a₁q，解得a₁=$\frac{1}{2}$．
∴a_n=$（\frac{1}{2}）^{n}$（n∈N^*），．
（II）b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{（1-{a}_{n}）（1-{a}_{n+1}）}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，n∈N^*，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=$（\frac{1}{2-1}-\frac{1}{{2}^{2}-1}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}-1}-\frac{1}{{2}^{3}-1}）$+…+$（\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}）$
=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$=$\frac{{2}^{n+1}-2}{{2}^{n+1}-1}$，n∈N^*．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“裂項(xiàng)求和”方法、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．