Question

如圖所示，正方形ADEF與梯形ABCD所在平面互相垂直，在梯形ABCD中，AB∥CD，△ABD和△DBC分別是以DB和CD為斜邊的等腰直角三角形，AD=1．
（Ⅰ）求證AF⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求直線FC與平面ABCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）在線段CE上是否存在點M，使得DM∥平面FAB，如果存在，說明點M滿足的條件，如果不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的性質(zhì)

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）證明AF⊥AD，利用平面ADEF和平面ABCD互相垂直，且相交于AD，即可證明AF⊥平面ABCD；
（Ⅱ）確定FC和平面ABCD所成的角為∠FCA，即可求直線FC與平面ABCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）證明平面DEC∥平面FAB，即可得出結(jié)論．

解答： （I）證明：∵ADEF是正方形，∴AF⊥AD
又∵平面ADEF和平面ABCD互相垂直，且相交于AD，AF?平面ADEF∴AF⊥平面ABCD．…（3分）
（II）解：由（1）得AF⊥平面ABCD，∴FC在平面ABCD上的射影是AC，
∴FC和平面ABCD所成的角為∠FCA…（5分）
∵AD⊥DC，∴在Rt△ADC中，AC=

AD2+DC2

=

12+22

=

5

，
又AF=1，∴在Rt△AFC中，FC=

6

，…（7分）
∴sin∠FCA=

FA

FC

=

6

6

…（8分）
（III）解：∵AF∥DE，AF?平面FAB，∴DE∥平面FAB  ①…（9分）
在梯形ABCD中，AB∥CD，AB?平面FAB，∴DC∥平面FAB  ②…（10分）
由①②及DE∩DC=D，得平面DEC∥平面FAB，…（11分）
又不論M在線段CE的何種位置，都有DM?平面EDC
所以不論M在線段CE的何種位置，都有DM∥平面FAB     …（13分）

點評：本題考查線面垂直，線面平行，考查線面角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．