證明：1+
1
1!
+
1
2!
+…+
1
n!
-
3
2n
＜（1+
1
n
）n＜1+
1
1!
+
1
2!
+
1
3!
+…+
1
n!
．
考點(diǎn)：不等式的證明
專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用,概率與統(tǒng)計(jì)
分析：利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)、組合數(shù)的計(jì)算公式進(jìn)行放縮即可證明．
解答： 證明：先證明右邊不等式：(1+
1
n
)n=
n
k=0
∁
k
n
(
1
n
)k=
n
k=0
1
k!
•
n(n-1)…(n-k+1)
nk

=1+1+
1
2!
(1-
1
n
)+…+
1
n!
(1-
1
n
)(1-
2
n
)…(1-
n-1
n
)
＜1+1+
1
2!
+…+
1
n!
，（n≥2）．
證明左邊不等式：(1+
1
n
)n=
n
k=0
∁
k
n
(
1
n
)k=
n
k=0
1
k!
•
n(n-1)…(n-k+1)
nk

=1+1+
1
2!
(1-
1
n
)+…+
1
n!
(1-
1
n
)(1-
2
n
)…(1-
n-1
n
)
＞1+1+
1
2！
-
1
2n
+
1
3!
-
1
2!n
+…+
1
n!
-
1
n!
•
n-1
2

＞1+1+
1
2!
+…+
1
n!
-
3
2n
．
綜上可得：1+
1
1!
+
1
2!
+…+
1
n!
-
3
2n
＜（1+
1
n
）n＜1+
1
1!
+
1
2!
+
1
3!
+…+
1
n!
．（n≥2）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二項(xiàng)式定理展開(kāi)、組合數(shù)的計(jì)算公式進(jìn)行放縮，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

過(guò)點(diǎn)P（-1，2）且與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為5的直線的條數(shù)是（　　）
A、1B、2C、3D、4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

下列函數(shù)中與函數(shù)y=
2
x
相等的是（　　）
A、y=
2
(
x
)2
B、y=
2
3x3
C、y=
2
x2
D、y=
2(
x
)4
x3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)不等式mx2-2x-m+1＜0對(duì)于滿足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}．
（1）當(dāng)m=4時(shí)，求集合A∩B；
（2）若A∪B=A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax3-bx+1（a，b∈R），若f（-3）=1，則f（3）=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖1，已知四邊形ABCD是上、下底長(zhǎng)分別為2和6，高DO為2
3
的等腰梯形，將它沿DO折成120°的二面角A-DO-B，如圖2，連結(jié)AB，AC，BD，OC．

（Ⅰ）求三棱錐A-BOD的體積V；
（Ⅱ）證明：AC⊥BD；
（Ⅲ）求二面角D-AC-O的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=
1
3
an+
2
3
，則{an}的前5項(xiàng)和S5=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

一個(gè)游戲盤(pán)上有四種顏色：紅、黃、藍(lán)、黑，并且它們所占面積的比為6：2：1：4，則指針停在紅色或藍(lán)色的區(qū)域的概率為
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案