Question

1．已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）求證：lnx＞$\frac{1}{e^x}-\frac{2}{ex}$，x∈（0，+∞）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最小值即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為：$xlnx＞\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$，令$g（x）=\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=1+lnx，令f′（x）=0，得$x=\frac{1}{e}$，
當(dāng)$0＜x＜\frac{1}{e}$時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上單調(diào)遞減；
當(dāng)$x＞\frac{1}{e}$時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（$\frac{1}{e}$，+∞）上單調(diào)遞增．
所以函數(shù)f（x）的最小值為$f（\frac{1}{e}）=-\frac{1}{e}$．即$f（x）≥-\frac{1}{e}，x∈（0，+∞）$…（6分）
（Ⅱ）將不等式化為：$xlnx＞\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$，
令$g（x）=\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$，則g′（x）=e^-x（1-x），令g′（x）=0，得x=1，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
所以，函數(shù)當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，$g（x）≤g（1）=-\frac{1}{e}$…（10分）
由（Ⅰ）可知函數(shù)f（x）與g（x）取得最值時(shí)對于的x的值不同，
故x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）＞g（x），即$lnx＞\frac{1}{e^x}-\frac{2}{ex}，x∈（0，+∞）$…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．