Question

9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}$（θ為參數(shù)），以平面直角坐標(biāo)系xOy的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，已知直線l：ρ（2cosθ-sinθ）=6．
（1）將曲線C₁上的所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的$\sqrt{3}$倍，縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍后得到曲線C₂，試寫出直線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C₂的參數(shù)方程；
（2）在曲線C₂上求一點P，使點P到直線l的距離最大，并求出此最大值．

Answer 1

分析 （1）直線l：ρ（2cosθ-sinθ）=6．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角坐標(biāo)方程．由曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}$（θ為參數(shù)），將曲線C₁上的所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的$\sqrt{3}$倍，縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍后得到曲線C₂的參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．
（2）設(shè)P$（\sqrt{3}cosα，2sinα）$，點P到直線l的距離d=$\frac{|2\sqrt{3}cosα-2sinα-6|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|4cos（α+\frac{π}{6}）-6|}{\sqrt{5}}$，利用三角函數(shù)的單調(diào)性與值域即可得出．

解答 解：（1）直線l：ρ（2cosθ-sinθ）=6．可得：直線l的直角坐標(biāo)方程為：2x-y-6=0．
由曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}$（θ為參數(shù)），將曲線C₁上的所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的$\sqrt{3}$倍，
縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍后得到曲線C₂的參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．
（2）設(shè)P$（\sqrt{3}cosα，2sinα）$，點P到直線l的距離d=$\frac{|2\sqrt{3}cosα-2sinα-6|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|4cos（α+\frac{π}{6}）-6|}{\sqrt{5}}$．
∴當(dāng)$cos（α+\frac{π}{6}）$=-1時，d取得最大值$\frac{10}{\sqrt{5}}$=2$\sqrt{5}$，此時P$（-\frac{3}{2}，1）$．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、點到直線的距離公式、三角函數(shù)的值域，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．