Question

11．在多面體ABCDE中，AE⊥平面ABC，AE∥BD，AB=BC=CA=BD=2AE=2
（1）求證：平面EDC⊥平面BDC；
（2）試判斷直線AC與平面EDC所成角和二面角E-CD-A的大小的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)平面與平面垂直的性質(zhì)定理，證明EP⊥平面BCD．
（2）建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法即可分別求出線面所成的角以及二面角的大�。�

解答 解：（1）證明：取CD、CB的中點(diǎn)P、N，連接EP，PN，NA，
則PN∥BD，且PN=$\frac{1}{2}$BD，
∴EP∥AN，
∵AB=BC=CA，AN⊥BC，AE⊥平面ABC，AE∥BD，
∴平面ABC⊥平面BDC，
∴AN⊥平面BDC，∴EP⊥平面BDC，由EP?平面EDC，
∴平面EDC⊥平面BDC．
（2）∵AB=BC=CA=BD=2AE=2
∴△ABC是正三角形，則CF⊥AB，
∵AE⊥平面ABC，
∴平面ABDE⊥平面ABC，
則CF⊥平面ABDE，
建立以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)C，F(xiàn)B，F(xiàn)z分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：
則F（0，0，0），A（0，-1，0），B（0，1，0），C（$\sqrt{3}$，0，0），
E（0，-1，1），D（0，1，2），
則$\overrightarrow{DE}$=（0，-2，-1），$\overrightarrow{CD}$=（-$\sqrt{3}$，1，2），
設(shè)平面EDC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{DE}$=-2y-z=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{CD}$=-$\sqrt{3}$x+y+2z=0，
令x=$\sqrt{3}$，則y=-1，z=2，即$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，-1，2），
$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{3}$，1，0），
設(shè)AC與平面EDC所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{AC}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{m}|AC||}$|=$\frac{\sqrt{3}×\sqrt{3}-1×1}{\sqrt{3+1}•\sqrt{3+1+4}}$=$\frac{3-1}{2×2\sqrt{2}}$=$\frac{2}{4\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
則θ=arcsin$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
設(shè)平面ACD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{AC}$=$\sqrt{3}$x+y=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{CD}$=-$\sqrt{3}$x+y+2z=0，
令x=$\sqrt{3}$，則y=-3，z=3，即$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，-3，3），
則cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{\left|\overrightarrow{m}\right|\left|\overrightarrow{n}\right|}$=$\frac{\sqrt{3}×\sqrt{3}+1×3+2×3}{\sqrt{3+1+4}•\sqrt{3+9+9}}$=$\frac{12}{2\sqrt{2}•\sqrt{21}}$=$\frac{\sqrt{42}}{7}$
即$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=arccos$\frac{\sqrt{42}}{7}$，即二面角E-CD-A的大小為arccos$\frac{\sqrt{42}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間面面垂直的判定以及線面角，二面角的求解，根據(jù)建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法求二面角是解決本題的關(guān)鍵．