Question

若數(shù)列{A_n}滿足A_n+1=A

2 n

，則稱{A_n}是“平方遞推數(shù)列”，數(shù)列{x_n}、{y_n}滿足x₁=3，以（x_n，x_n+1）為坐標(biāo)的點(diǎn)在函數(shù)f（x）=3x²+2x的圖象上，以（x_n，y_n）為坐標(biāo)的點(diǎn)在直線y=3x+1上．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{y_n}是“平方遞推數(shù)列”；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{y_n}的前n項(xiàng)之積為T_n，令z_n=log ynT_n，求數(shù)列{z_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由題意列出方程組

xn+1=3xn2+2xn yn+1=3xn+1+1

，轉(zhuǎn)化為關(guān)于y_n+1與y_n的關(guān)系式得答案；
（Ⅱ）求出y₁=3x₁+1=10，結(jié)合yn+1=yn2得到{lgy_n}是首項(xiàng)為1、公比為2的等比數(shù)列．由z_n=log ynT_n求得z_n，作和后得答案．

解答： （Ⅰ）證明：依題意

xn+1=3xn2+2xn yn+1=3xn+1+1

，
∴yn+1=9xn2+6xn+1=(3xn+1)2，
又y_n=3x_n+1，
∴yn+1=yn2．
∴{y_n}是平方遞推數(shù)列；
（Ⅱ）解：∵y₁=3x₁+1=10，yn+1=yn2，
∴y_n＞0．
∴l(xiāng)gy₁=1，lgy_n+1=2lgy_n．
∴{lgy_n}是首項(xiàng)為1、公比為2的等比數(shù)列．
則lgyn=2n-1．
∴zn=logynTn=

lgTn

lgyn

=

n k=1 lgyk

lgyn

=

2n-1

2n-1

=2-

1

2n-1

．
∴Sn=

n

k=1

zk=

n

k=1

(2-

1

2k-1

)=2n-2(1-

1

2n

)=2n-2+

1

2n-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的函數(shù)特性，考查了數(shù)列遞推式，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是中檔題．