Question

17．若以曲線y=f（x）上任意一點M₁（x₁，y₁）為切點作切線l₁，曲線上總存在異于M的點N（x₂，y₂），以點N為切點做切線l₂，且l₁∥l₂，則稱曲線y=f（x）具有“可平行性”，現(xiàn)有下列命題：①偶函數(shù)的圖象都具有“可平行性”；②函數(shù)y=sinx的圖象具有“可平行性”；③三次函數(shù)f（x）=x³-x²+ax+b具有“可平行性”，且對應的兩切點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）的橫坐標滿足${x_1}+{x_2}=\frac{2}{3}$；④要使得分段函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x+\frac{1}{x}（x＞m）\\{e^x}-1（x＜0）\end{array}\right.$的圖象具有“可平行性”，當且僅當實數(shù)m=1．
以上四個命題真命題的個數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 分別求出函數(shù)導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出對應的切線斜率，結(jié)合曲線y=f（x）具有“可平行性”，即可得到結(jié)論．

解答 解：①函數(shù)y=1滿足是偶函數(shù)，函數(shù)的導數(shù)y′=0恒成立，此時，任意兩點的切線都是重合的，故①不符號題意．
②由y′=cosx和三角函數(shù)的周期性知，cosx=a（-1≤a≤1）的解有無窮多個，符合題意．
③三次函數(shù)f（x）=x³-x²+ax+b，則f′（x）=3x²-2x+a，方程3x²-2x+a-m=0在判別式△=（-2）²-12（a-m）≤0時不滿足方程y′=a（a是導數(shù)值）至少有兩個根．命題③錯誤；
④函數(shù)y=e^x-1（x＜0），y′=e^x∈（0，1），函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$，y′=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
則由1-$\frac{1}{{x}^{2}}$∈（0，1），得$\frac{1}{{x}^{2}}$∈（0，1），
∴x＞1，則m=1．
故要使得分段函數(shù)f（x）的圖象具有“可平行性”，當且僅當實數(shù)m=1，④正確．
∴正確的命題是②④．
故選：B．

點評 本題考查了導數(shù)的幾何意義，關(guān)鍵是將定義正確轉(zhuǎn)化為：曲線上至少存在兩個不同的點，對應的導數(shù)值相等，綜合性較強，考查了轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．