Question

9．已知函數(shù)f（x）=ax²+2ax+1．
（1）當(dāng)a=-1時，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，2]上的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，2]上的最大值為4，求a的值．

Answer 1

分析 （1）a=-1時，得到f（x）=-x²-2x+1，f（x）的對稱軸為x=-1，從而可以寫出f（x）在[-3，2]上的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）可看出需討論a：a＞0時，f（x）為二次函數(shù)，并且對稱軸為x=-1，從而可得出f（x）在[-3，2]上的最大值f（2）=4，這便可求出a；a=0時顯然不滿足條件；a＜0時，可以得到f（-1）=4，這又可求出一個a的值，最后便可得出a的值．

解答 解：（1）當(dāng)a=-1時，f（x）=-x²-2x+1的圖象是開口向下的拋物線，對稱軸x=-1∈[-3，2]；
∴f（x）在區(qū)間[-3，2]上的單調(diào)遞減區(qū)間是[-1，2]；
（2）①當(dāng)a＞0時，f（x）的圖象的開口向上，對稱軸x=-1∈[-3，2]；
∴f（x）在x=2處取得最大值；
∴f（2）=4a+4a+1=4，解得a=$\frac{3}{8}$；
②當(dāng)a=0時，f（x）=1沒有最值；
③當(dāng)a＜0時，f（x）的圖象的開口向下，對稱軸x=-1∈[-3，2]；
∴f（x）在x=-1處取得最大值；
∴f（-1）=a-2a+1=4，解得a=-3；
綜上所述，a的值為-3或$\frac{3}{8}$．

點評 考查二次函數(shù)的對稱軸，以及二次函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)最大值的概念，根據(jù)對稱軸求二次函數(shù)在閉區(qū)間上最大值的方法．