Question

7．已知函數(shù)f（x）=2asinωxcosωx+2$\sqrt{3}$cos²ωx-$\sqrt{3}$（a＞0，ω＞0）的最大值為2，x₁，x₂是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意兩個(gè)元素，且|x₁-x₂|的最小值為$\frac{π}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式及其對(duì)稱軸；   
（2）求f（x）在區(qū)間（0，$\frac{π}{8}$]的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的最值求出A，由周期求出ω，可得函數(shù)的解析式．
（2）由x∈（0，$\frac{π}{8}$]，利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）的值域．

解答 解：（1）已知函數(shù)f（x）=2asinωxcosωx+2$\sqrt{3}$cos²ωx-$\sqrt{3}$=asin2ωx+$\sqrt{3}$cosωx（a＞0，ω＞0）的最大值為2，
可得$\sqrt{{a}^{2}+3}$=2，∴a=1，f（x）=sin2ωx+$\sqrt{3}$cosωx=2sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）．
x₁，x₂是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意兩個(gè)元素，且|x₁-x₂|的最小值為$\frac{T}{2}$=$\frac{1}{2}•\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{2}$，∴ω=1，
f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
令4x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{4}$+$\frac{π}{24}$，故函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程為 x=$\frac{kπ}{4}$+$\frac{π}{24}$，k∈Z．
（2）∵x∈（0，$\frac{π}{8}$]，∴2x+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{12}$]，∴sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，2sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[$\sqrt{3}$，2]，
即f（x）在區(qū)間（0，$\frac{π}{8}$]的取值范圍為[$\sqrt{3}$，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的最值求出A，由周期求出ω，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．