16.已知公差d>0的等差數(shù)列{an}中,a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比數(shù)列.
(1)求公差d及通項(xiàng)an;
(2)設(shè)Sn=$\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}$+$\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}$+…+$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$,求證:Sn<$\frac{1}{40}$.

分析 (1)由a1,2a2+2,5a3成等比數(shù)列,可得$(2{a}_{2}+2)^{2}$=a1•5a3,即(2×10+2d+2)2=10×5(10+2d),化為:d2-3d-4=0,d>0,解得d即可得出.
(2)$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{(4n+6)(4n+10)}$=$\frac{1}{8}$$(\frac{1}{2n+3}-\frac{1}{2n+5})$.利用“裂項(xiàng)求和方法”即可得出.

解答 (1)解:∵a1,2a2+2,5a3成等比數(shù)列,∴$(2{a}_{2}+2)^{2}$=a1•5a3,∴(2×10+2d+2)2=10×5(10+2d),
化為:d2-3d-4=0,d>0,解得d=4.∴an=10+4(n-1)=4n+6.
(2)證明:$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{(4n+6)(4n+10)}$=$\frac{1}{8}$$(\frac{1}{2n+3}-\frac{1}{2n+5})$.
∴Sn=$\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}$+$\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}$+…+$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$<$\frac{1}{8}$$[(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})$+$(\frac{1}{7}-\frac{1}{9})$+…+$(\frac{1}{2n+3}-\frac{1}{2n+5})]$
=$\frac{1}{8}$$(\frac{1}{5}-\frac{1}{2n+5})$<$\frac{1}{40}$-$\frac{1}{16n+40}$<$\frac{1}{40}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列與等差數(shù)列通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和方法”、數(shù)列單調(diào)性,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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