Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（8-ax）（a＞0，a≠1）．
（1）若f（x）＞2，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（2）若f（x）＞1在區(qū)間[1，2]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（x）＞2得log_a（8-ax）＞2，由于函數(shù)的底數(shù)是a故應(yīng)對(duì)它進(jìn)行分類，按函數(shù)是增函數(shù)與減函數(shù)解不等式得到實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（2）對(duì)于f（x）＞1在區(qū)間[1，2]上恒成立，故應(yīng)確定出函數(shù)在區(qū)間上的最小值，令最小值大于1，得到關(guān)于參數(shù)的不等式，解出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）若a＞1時(shí)，8-ax＞a²得，x＜

8

a

-a．
若0＜a＜1時(shí)，0＜8-ax＜a²得

8

a

-a＜x＜

8

a

；
（2）若a＞1時(shí)，8-ax＞a在x∈[1，2]上恒成立，
即x＜

8-a

a

在x∈[1，2]上恒成立，
故

8-a

a

＞2，即a＜

8

3

，則1＜a＜

8

3

．
若0＜a＜1時(shí)，0＜8-ax＜a在x∈[1，2]上恒成立，即x＞

8-a

a

在x∈[1，2]上恒成立，
故

8-a

a

＜1，即a＞4，則a∈?．
綜上所述：a∈(1，

8

3

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)，解題的關(guān)鍵正確的根據(jù)對(duì)數(shù)的單調(diào)性解不等式或者轉(zhuǎn)化出關(guān)于參數(shù)的不等式，兩個(gè)小題求解過(guò)程中都用到了對(duì)數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)參數(shù)的取值范圍對(duì)所研究的問(wèn)題有不確定性時(shí)常對(duì)參數(shù)的取值范圍進(jìn)行討論從而這不確定為確定，是中檔題．