Question

9．如圖，在各棱長均相等的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠A₁AC=60°，D為AC的中點(diǎn)．
（1）求證：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求證：平面ABB₁A₁⊥平面AB₁C．

Answer 1

分析 （1）連接AB₁和A₁B，交于E，連接DE，運(yùn)用中位線定理和線面平行的判定定理，即可得證；
（2）運(yùn)用菱形的對(duì)角線垂直和線面垂直的判斷和性質(zhì)，可得A₁B⊥平面AB₁C，再由面面垂直的判定定理，即可得證．

解答 證明：（1）連接AB₁和A₁B，交于E，連接DE，
由D，E分別為AC，A₁B的中點(diǎn)，可得DE∥B₁C，
由DE?平面A₁BD，B₁C?平面A₁BD，
即有B₁C∥平面A₁BD；
（2）由菱形ABB₁A₁，可得AB₁⊥A₁B，
∠A₁AC=60°，D為AC的中點(diǎn)，可得A₁D⊥AC，
又BD⊥AC，則AC⊥平面A₁BD，
即有AC⊥A₁B，又AB₁⊥A₁B，
則A₁B⊥平面AB₁C，
而A₁B?平面ABB₁A₁，則平面ABB₁A₁⊥平面AB₁C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行和面面垂直的判定，注意運(yùn)用線面平行和面面垂直的判定定理，考查空間線面位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．