Question

18．設(shè)命題p：實(shí)數(shù)x滿足x²-4ax+3a²＜0，命題q：實(shí)數(shù)x滿足log₂x≤2．
（1）若a=1，且p∧q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（2）若a＞0且?q是?p的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a=1代入不等式，分別求出關(guān)于p，q的x的范圍，結(jié)合p，q均為真，求出x的范圍即可；
（2）根據(jù)p是q的充分不必要條件，得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時，p：{x|1＜x＜3}，q：{x|0＜x≤4}，（3分）
又p∧q為真，所以p真且q真，
由$\left\{{\begin{array}{l}{1＜x＜3}\\{0＜x≤4}\end{array}}\right.$，得1＜x＜3
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（1，3）（5分）
（2）因?yàn)椹Vq是￢p的充分不必要條件，
所以p是q的充分不必要條件，（7分）
又p：{x|a＜x＜3a}，q：{x|0＜x≤4}，
所以$\left\{{\begin{array}{l}{a＞0}\\{\;}\\{3a≤4}\end{array}}\right.$，解得$0＜a≤\frac{4}{3}$
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為$（{0，\;\frac{4}{3}}]$（10分）．

點(diǎn)評 本題考查了充分必要條件，考查復(fù)合命題的判斷，集合的包含關(guān)系，是一道中檔題．