Question

9．已知奇函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)，且f（1）=1，若函數(shù)f（x）≥t²-4at-1對(duì)所有的x∈[-1，1]都存在a∈[-1，1]使不等式成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是{0}}．

Answer 1

分析 由f（1）=1得f（-1）=-1，f（x）≤t²-2at+1對(duì)所有的x∈[-1，1]都成立，只需要f（x）的最小值大于或等于t²-4at+1即可．再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得t的范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且在[-1，1]是單調(diào)增函數(shù)，又f（1）=1，∴f（-1）=-1，
∴當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）∈[-1，1]．
若函數(shù)f（x）≥t²-4at-1對(duì)所有的x∈[-1，1]都成立，由已知易得f（x）的最小值是-1，
∴-1≥t²-4at-1，等價(jià)于t²-4at≤0．
設(shè)g（a）=t²-4at（-1≤a≤1），
欲使 t²-4at≤0恒成立，則 $\left\{\begin{array}{l}{g（-1）{=t}^{2}+4t≤0}\\{g（1）{=t}^{2}-4t≤0}\end{array}\right.$，求得t=0，
故答案為：{0}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是奇偶性與單調(diào)性的綜合，其中根據(jù)已知結(jié)合函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性判斷出當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，函數(shù)f（x）值域，是解答本題的關(guān)鍵，考查了函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．