Question

2．在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知棱長AB=$\sqrt{3}$，AA₁=1，截面AB₁C₁D為正方形．
（1）求點B₁到平面ABC₁的距離；
（2）求二面角B-AC₁-B₁的正弦值．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，利用勾股定理可得$A{B}_{1}=\sqrt{A{B}^{2}+{B}_{1}{B}^{2}}$，由于截面AB₁C₁D為正方形，可得AD=2．設(shè)平面ABC₁的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），聯(lián)絡(luò)員向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系可得$\overrightarrow{m}$，利用點B₁到平面ABC₁的距離d=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{B}_{1}}|}{|\overrightarrow{m}|}$即可得出．
（2）設(shè)平面AB₁C₁的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x₁，y₁，z₁），利用$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$，利用$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$，及其二面角角B-AC₁-B₁的正弦值=$\sqrt{1-co{s}^{2}＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞}$即可得出．

解答 解：（1）如圖所示，
∵棱長AB=$\sqrt{3}$，AA₁=1，
∴$A{B}_{1}=\sqrt{A{B}^{2}+{B}_{1}{B}^{2}}$=2，
∵截面AB₁C₁D為正方形，
∴AD=2．
∴A（2，0，0），B（2，$\sqrt{3}$，0），B₁$（2，\sqrt{3}，1）$，C₁$（0，\sqrt{3}，1）$．
$\overrightarrow{AB}$=$（0，\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-2，0，1），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，0，1）．
設(shè)平面ABC₁的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=-2x+z=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}$=（1，0，2）．
∴點B₁到平面ABC₁的距離d=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{B}_{1}}|}{|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（2）$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=$（0，\sqrt{3}，1）$，$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（-2，0，0），
設(shè)平面AB₁C₁的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x₁，y₁，z₁），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=\sqrt{3}{y}_{1}+{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}=-2x=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$=$（0，1，-\sqrt{3}）$，
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-2\sqrt{3}}{\sqrt{5}×2}$=-$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∴二面角B-AC₁-B₁的正弦值=$\sqrt{1-co{s}^{2}＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴二面角B-AC₁-B₁的正弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查了通過建立空間直角坐標系利用法向量求空間距離與空間角、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．