Question

設(shè)a為實(shí)常數(shù)，y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=4x+

a2

x

+7，若f（x）≥a+1對(duì)一切x≥0成立，則a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得：x＞0時(shí)，f（x）=4x+

a2

x

-7；x=0時(shí)，f（x）=0．當(dāng)x＞0時(shí)，4x+

a2

x

-7≥a+1恒成立，可得：4x²-（a+8）x+a²≥0恒成立．令g（x）=4x²-（a+8）x+a²，可得當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）≥0恒成立?

- -(a+8) 8 ≤0 g(0)≥0

，或△≤0．解出即可．

解答： 解：設(shè)x＞0，則-x＜0．
∵當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=4x+

a2

x

+7，
∴f（-x）=-4x-

a2

x

+7．
∵y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（-x）=4x+

a2

x

-7．
∵f（x）≥a+1對(duì)一切x≥0成立，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，4x+

a2

x

-7≥a+1恒成立；且當(dāng)x=0時(shí)，0≥a+1恒成立．
①由當(dāng)x=0時(shí)，0≥a+1恒成立，解得a≤-1．
②由當(dāng)x＞0時(shí)，4x+

a2

x

-7≥a+1恒成立，可得：4x²-（a+8）x+a²≥0恒成立．
令g（x）=4x²-（a+8）x+a²，
則當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）≥0恒成立?

- -(a+8) 8 ≤0 g(0)≥0

，或△≤0，
解得a≤-

8

5

．
綜上可得：a≤-

8

5

．
因此a的取值范圍是：a≤-

8

5

．
故答案為：a≤-

8

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性、二次函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．