Question

已知圓C：x²+y²-4x-8y+16=0，
（1）過(guò)點(diǎn)A（-4，2）的直線(xiàn)l被圓C截得弦長(zhǎng)為2

2

，求l的方程；
（2）已知A（-4，m），m＞0，P為x軸上的點(diǎn)，Q（x，y）為圓C上的點(diǎn)，若|AP|+|PQ|的最小值為8，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)和圓的方程的應(yīng)用

專(zhuān)題：計(jì)算題,直線(xiàn)與圓

分析：（1）設(shè)出直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，化為一般式，求出圓心到直線(xiàn)的距離，再由弦長(zhǎng)公式2

r2-d2

，即可求出斜率，即可得到直線(xiàn)方程；
（2）求出A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B的坐標(biāo)，可得|PA|+|PQ|的最小值是|BC|-r，即可求出m．

解答： 解：（1）圓C：x²+y²-4x-8y+16=0，即（x-2）²+（y-4）²=4，
則圓心C（2，4），半徑r=2．
設(shè)直線(xiàn)l的方程為：x=-4或y-2=k（x+4），
當(dāng)x=-4，則有圓心到直線(xiàn)的距離大于半徑，故不成立；
直線(xiàn)l的一般式：kx-y+2+4k=0，
由弦長(zhǎng)公式：2

r2-d2

=2

4-d2

=2

2

，
則d=

2

．
則

|2k-4+2+4k|

1+k2

=

2

，解得k=

6± 19

17

，
則直線(xiàn)l的方程為：（6+

19

）x-17y+58+4

19

=0或
（6-

19

）x-17y+58-4

19

=0；
（2）設(shè)A（-4，m）關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B（-4，-m），
則|PA|+|PQ|≥|BP|+|PC|-r，即最小值是|BC|-r
=

(2+4)2+(4+m)2

-2=8．
解得m=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)和圓的方程的應(yīng)用，考查直線(xiàn)和圓相交的弦長(zhǎng)公式，點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，求出A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B的坐標(biāo)是關(guān)鍵．