Question

已知y=f（x）是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=x²+4x-1，求y=f（x）的解析式，畫出y=f（x）的圖象，并指出y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先設(shè)x＞0，則可得-x＜0，然后利用f（-x）=-f（x）及x＜0時(shí)函數(shù)的解析式，可求x＞0時(shí)的函數(shù)f（x）的解析式，再由f（0）=0，即可求解；先畫出y=f（x）（x＜0）的圖象，利用奇函數(shù)的對稱性可得到相應(yīng)y=f（x）（x＜0）的圖象，由圖可求單調(diào)區(qū)間

解答： 解：設(shè)x＞0，則可得-x＜0，
∴f（-x）=（-x）²-4x-1=x²-4x-1．
又∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）．
∴f（x）=-x²+4x+1．
又f（0）=0，
∴f（x）=

x2+4x-1，x＜0 0，x=0 -x2+4x+1，x＞0

，
y=f（x）的圖象如下圖所示：

由圖可知，其增區(qū)間為[-2，2]
減區(qū)間為（-∞，-2]，[2，+∞）．

點(diǎn)評：本題主要考查了奇函數(shù)圖象的對稱性的應(yīng)用及奇函數(shù)性質(zhì)的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題