【題目】已知拋物線的方程為， 為其焦點(diǎn)，過不在拋物線上的一點(diǎn)作此拋物線的切線， 為切點(diǎn).且.

（Ⅰ）求證：直線過定點(diǎn)；

（Ⅱ）直線與曲線的一個(gè)交點(diǎn)為，求的最小值.

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)直線的方程為，設(shè)， ，由消去得，根據(jù)韋達(dá)定理，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的結(jié)合意義可得這兩條切線的斜率分別為， .由這兩切線垂直得，從而可得結(jié)論；（Ⅱ）設(shè)，則， ， ， ， ，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可.

試題解析：（Ⅰ）設(shè)直線的方程為，設(shè)，

以為切點(diǎn)的切線方程分別為， .

由消去得.

則， .

這兩條切線的斜率分別為， .

由這兩切線垂直得，得.

所以直線恒過定點(diǎn).

（Ⅱ）設(shè)，則， ，

當(dāng)時(shí)，則，可得，

當(dāng)時(shí)，則， ， ，

同樣可得.

所以.

由.

所以 .

令， .

.

所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).

所以.

（或 當(dāng)時(shí)取等號(hào).）

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知菱形的邊長為2， . 是邊上一點(diǎn)，線段交于點(diǎn).

（1）若的面積為，求的長；

（2）若，求.

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【題目】如圖，在底面為矩形的四棱錐中， .

（1）證明：平面平面；

（2）若異面直線與所成角為， ， ，求二面角的大小.

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【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，短軸長為，且兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)恰為一個(gè)正方形的頂點(diǎn)，過右焦點(diǎn)與軸不垂直的直線交橢圓于， 兩點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的方程．

（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率為時(shí)，求的面積．

（Ⅲ）在線段上是否存在點(diǎn)，使得經(jīng)， 為領(lǐng)邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨著共享單車的成功運(yùn)營，更多的共享產(chǎn)品逐步走入大家的世界，共享汽車、共享籃球、共享充電寶等各種共享產(chǎn)品層出不窮.某公司隨機(jī)抽取1000人對(duì)共享產(chǎn)品是否對(duì)日常生活有益進(jìn)行了問卷調(diào)查，并對(duì)參與調(diào)查的1000人中的性別以及意見進(jìn)行了分類，得到的數(shù)據(jù)如下表所示：

男

女

總計(jì)

認(rèn)為共享產(chǎn)品對(duì)生活有益

400

300

700

認(rèn)為共享產(chǎn)品對(duì)生活無益

100

200

300

總計(jì)

500

500

1000

（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1％的前提下，認(rèn)為共享產(chǎn)品的態(tài)度與性別有關(guān)系？

（2）為了答謝參與問卷調(diào)查的人員，該公司對(duì)參與本次問卷調(diào)查的人員隨機(jī)發(fā)放1張超市的購物券，購物券金額以及發(fā)放的概率如下：

購物券金額

20元

50元

概率

現(xiàn)有甲、乙兩人領(lǐng)取了購物券，記兩人領(lǐng)取的購物券的總金額為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

參考公式： ．

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是菱形，且，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn).

（1）求證： ；

（2）若，且平面平面，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某市小型機(jī)動(dòng)車駕照“科二”考試中共有5項(xiàng)考察項(xiàng)目，分別記作①，②，③，④，⑤.

（1）某教練將所帶10名學(xué)員“科二”模擬考試成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)（如圖1所示）,并打算從恰有2項(xiàng)成績不合格的學(xué)員中任意抽出2人進(jìn)行補(bǔ)測（只測不合格的項(xiàng)目），求補(bǔ)測項(xiàng)目種類不超過3項(xiàng)的概率；

（2）如圖2，某次模擬演練中，教練要求學(xué)員甲倒車并轉(zhuǎn)向90°，在汽車邊緣不壓射線AC與射線BD的前提下，將汽車駛?cè)胫付ǖ耐＼囄?/span>. 根據(jù)經(jīng)驗(yàn),學(xué)員甲轉(zhuǎn)向90°后可使車尾邊緣完全落在線段CD,且位于CD內(nèi)各處的機(jī)會(huì)相等.若CA="BD=0.3m," AB="2.4m." 汽車寬度為1.8m, 求學(xué)員甲能按教練要求完成任務(wù)的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)，是定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù)．

（1）確定的值；

（2）若，函數(shù)，，求的最小值；

（3）若，是否存在正整數(shù)，使得對(duì)恒成立？若存在，請(qǐng)求出所有的正整數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖是一個(gè)幾何體的平面展開圖，其中四邊形為正方形，，，，為全等的等邊三角形，、分別為、的中點(diǎn)，在此幾何體中，下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)有（）

①平面平面

②直線與直線是異面直線

③直線與直線共面

④面與面的交線與平行

A. 3B. 2C. 1D. 0

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