Question

3．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）過點(diǎn)$（{1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知直線l₁過橢圓C的右焦點(diǎn)F₂交C于 M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)Q為直線l₂：x=2上的點(diǎn)，且F₂Q⊥l₁，記直線MN與直線 OQ（O為原點(diǎn)）的交點(diǎn)為K，證明：MK=NK．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{2^{2}}=1}\end{array}\right.$，解出即可得出；
（2）設(shè)直線MN的方程為：x=my+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立化為（2+m²）y²+2my-1=0，可得y₁+y₂．可得線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)．由F₂Q⊥l₁，可得直線F₂Q的方程為y=-m（x-1），可得Q與直線OQ的方程，只要證明線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)滿足上述方程即可．

解答 解：（1）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{2^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a²=2，b=c=1．∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（2）設(shè)直線MN的方程為：x=my+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為（2+m²）y²+2my-1=0，y₁+y₂=$\frac{-2m}{2+{m}^{2}}$．
∴線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為$（\frac{2}{2+{m}^{2}}，\frac{-m}{2+{m}^{2}}）$．
∵F₂Q⊥l₁，∴直線F₂Q的方程為y=-m（x-1），
∴Q（2，-m），
∴直線OQ的方程為：y=-$\frac{m}{2}$x，
∵線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)$（\frac{2}{2+{m}^{2}}，\frac{-m}{2+{m}^{2}}）$滿足上述方程．
∴MK=KN．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．