Question

20．若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（0）=-1，其導函數(shù)f′（x）滿足f′（x）＜m＜-1，則下列結(jié)論中一定錯誤的是（　�。�

• A． f（$\frac{1}{m}$）＞-$\frac{1}{m}$
• B． f（$\frac{1}{m}$）＞-$\frac{1}{m+1}$
• C． f（$\frac{1}{m+1}$）＜$\frac{m}{m+1}$
• D． f（$\frac{1}{m+1}$）＜-$\frac{m+2}{m+1}$

Answer 1

分析 根據(jù)導數(shù)的概念得出 $\frac{f（x）-f（0）}{x}$＜m＜-1，用x=$\frac{1}{m+1}$代入可判斷出f（ $\frac{1}{m+1}$）＞-$\frac{1}{m+1}$，即可判斷答案．

解答 解；∵f′（x）=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）-f（0）}{x-0}$，f′（x）＜m＜-1，
∴$\frac{f（x）-f（0）}{x}$＜m＜-1，
即 $\frac{f（x）+1}{x}$＜m＜-1，
當x=$\frac{1}{m+1}$時，f（$\frac{1}{m+1}$）+1＞$\frac{1}{m+1}$×m=$\frac{m}{m+1}$，
即f（$\frac{1}{m+1}$）＞$\frac{m}{m+1}$-1=-$\frac{1}{m+1}$，
故f（$\frac{1}{m+1}$）＞-$\frac{1}{m+1}$，
所以f（$\frac{1}{m+1}$）＜$\frac{m}{m+1}$，一定出錯，
故選：C．

點評 本題考查了導數(shù)的概念，不等式的化簡運算，屬于中檔題，理解了變量的代換問題．