Question

10．若三個單位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿足$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，則|3$\overrightarrow{a}$+4$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|的最大值為（　　）

• A． 5+$\sqrt{2}$
• B． 3+2$\sqrt{2}$
• C． 8
• D． 6

Answer 1

分析 根據(jù)條件便可分別以O(shè)A，OB為x軸，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，并可得出點A，B的坐標(biāo)，設(shè)C（cosα，sinα），從而可以得出向量$3\overrightarrow{a}+4\overrightarrow-\overrightarrow{c}$的坐標(biāo)，并可得出$（3\overrightarrow{a}+4\overrightarrow-\overrightarrow{c}）^{2}=-10sin（α+θ）+26$，這樣即可求出$|3\overrightarrow{a}+4\overrightarrow-\overrightarrow{c}|$的最大值．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$；
∴作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$，則$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$；
∴分別以O(shè)A，OB所在直線為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則：
A（1，0），B（0，1），設(shè)C（cosα，sinα）；
∴$3\overrightarrow{a}+4\overrightarrow-\overrightarrow{c}=3（1，0）+4（0，1）-（cosα，sinα）$=（3-cosα，4-sinα）；
∴$（3\overrightarrow{a}+4\overrightarrow-\overrightarrow{c}）^{2}=9-6cosα+co{s}^{2}α$+16-8sinα+sin²a=-6cosα-8sinα+26
=-10sin（α+θ）+26，其中$tanθ=\frac{3}{4}$；
∴sin（α+θ）=-1時，$（3\overrightarrow{a}+4\overrightarrow-\overrightarrow{c}）^{2}$取最大值36；
∴$|3\overrightarrow{a}+4\overrightarrow-\overrightarrow{c}|$的最大值為6．
故選D．

點評 考查通過建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)解決向量問題的方法，以及向量坐標(biāo)的加法、減法和數(shù)乘運算，要求向量長度的最大值，而求向量平方最大值的方法，以及兩角和的正弦公式，正弦函數(shù)的最大值．