Question

6．如圖，$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OD}$=3$\overrightarrow{OB}$，記$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，線(xiàn)段AD交BC于點(diǎn)E，試用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示$\overrightarrow{OE}$，則$\overrightarrow{OE}$=$\frac{4}{5}\overrightarrow{a}$$+\frac{3}{5}\overrightarrow$．

Answer 1

分析 可設(shè)$\overrightarrow{OE}=x\overrightarrow{OD}+y\overrightarrow{OA}$，而由D，E，A共線(xiàn)便可得出x+y=1①，再根據(jù)條件$\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OD}=3\overrightarrow{OB}$便可得出$\overrightarrow{OE}=3x\overrightarrow{OB}+\frac{y}{2}\overrightarrow{OC}$，而B(niǎo)，E，C三點(diǎn)共線(xiàn)，從而得出$3x+\frac{y}{2}=1②$，①②聯(lián)立即可解出x，y，從而便可用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$表示出$\overrightarrow{OE}$．

解答 解：D，E，A三點(diǎn)共線(xiàn)；
∴$\overrightarrow{OE}=x\overrightarrow{OD}+y\overrightarrow{OA}$，x+y=1①；
又$\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OA}$；
∴$\overrightarrow{OA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}$，且$\overrightarrow{OD}=3\overrightarrow{OB}$；
∴$\overrightarrow{OE}=3x\overrightarrow{OB}+\frac{y}{2}\overrightarrow{OC}$；
又B，E，C三點(diǎn)共線(xiàn)；
∴$3x+\frac{y}{2}=1②$；
聯(lián)立①②得，$x=\frac{1}{5}，y=\frac{4}{5}$；
∴$\overrightarrow{OE}=\frac{1}{5}\overrightarrow{OD}+\frac{4}{5}\overrightarrow{OA}$
=$\frac{3}{5}\overrightarrow{OB}+\frac{4}{5}\overrightarrow{OA}$
=$\frac{4}{5}\overrightarrow{a}+\frac{3}{5}\overrightarrow$．
故答案為：$\frac{4}{5}\overrightarrow{a}+\frac{3}{5}\overrightarrow$．

點(diǎn)評(píng) 考查三點(diǎn)A，B，C共線(xiàn)時(shí)，滿(mǎn)足$\overrightarrow{OB}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OC}$，且x+y=1，以及向量的數(shù)乘運(yùn)算．