Question

如圖，在空間四邊形ABCD中，DA⊥平面ABC，∠ABC=90°AE⊥CD，AF⊥DB．

求證：(1)EF⊥DC；

(2)平面DBC⊥平面AEF．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)∵AD⊥平面ABC，∴AD⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平面ABD， ∴BC⊥AF，∴BC⊥AF，又BD⊥AF，∴AF⊥平面BCD，∴AF⊥CD． 又AE⊥CD∴CD⊥平面AEF，∴CD⊥EF． (2)在(1)中已證AF⊥平面BCD，∴平面AEF經(jīng)過平面BCD的一條垂線AF，∴平面DBC⊥平面AEF．

提示：

(1)要證線線垂直，先證線面垂直．要證EF⊥DC，應(yīng)先證EF垂直于DC所在的某一個平面，或證CD垂直于EF所在的某一個平面． (2)要證面面垂直，先找線面垂直．要證平面DBC⊥平面AEF，應(yīng)在平面DBC中找一條直線垂直于平面AEF，或在平面AEF中找一條直線垂直于平面DBC． 本題第(2)問的條件可以放寬，只要AF⊥BD，E為CD上任一點，都能得平面DBC⊥平面AEF．