Question

已知函數(shù)f（x）=cos²x+

3

sinxcosx，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

2

]，求函數(shù)f（x）的最大值及其相應(yīng)的x值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的余弦與正弦可將函數(shù)f（x）=cos²x+

3

sinxcosx（x∈R）轉(zhuǎn)化為y=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，利用三角函數(shù)的周期公式即可求得函數(shù)的最小正周期；
（2）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求y_max，由2x+

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z）可求其取最大值時(shí)相對(duì)應(yīng)的x值．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=cos²x+

3

sinxcosx
=

1

2

（1+cos2x）+

3

2

sin2x
=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，
∴其最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）當(dāng)2x+

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z），
x=kπ+

π

6

（k∈Z）時(shí)，y_max=

3

2

，
由于x∈[0，

π

2

]，
則此時(shí)x=

π

6

，函數(shù)f（x）取到最大值

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二倍角的余弦與正弦，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查三角函數(shù)的周期及其求法，屬于中檔題．