Question

已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x³-ax²-4x+4a．
（1）若f′（-1）=0，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)f（x）在（-∞，-2）和（2，+∞）上都是單調(diào)遞增的，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（-1）=0，即可求實(shí)數(shù)a的值；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得f′（x）=0的兩解必在[-2，2]內(nèi)，建立條件關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³-ax²-4x+4a．
∴f′（x）=3x²-2ax-4．
由f′（-1）=0，得3+2a-4=0，解得a=

1

2

；
（2）由f（x）在（-∞，-2）和（2，+∞）上都是單調(diào)遞增．
則f′（x）=0的兩解必在[-2，2]內(nèi)．
得f′（-2）≥0且f′（2）≥0，
即

12+4a-4≥0 12-4a-4≥0

，得

a≥-2 a≤2

，解得-2≤a≤2，
∴a的取值范圍為[-2，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用．