Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁≠0，2a_n=a₁（1+S_n）（n∈N^*），S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）設(shè)b_n=nS_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出a₁=1，2a_n-2a_n-1=（1+S_n）-（1+S_n-1）=a_n，由此得到an=2n-1．
（2）由an=2n-1，得Sn=2n-1，從而bn=n×2n-n，由此利用公組求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}中，a₁≠0，2a_n=a₁（1+S_n）（n∈N^*），
當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=a₁（1+S₁）=a₁（1+a₁），
∵a₁≠0，∴a₁=1，
當(dāng)n＞1時(shí)，則2a_n=1+S_n，
∴2a_n-2a_n-1=（1+S_n）-（1+S_n-1）=a_n，∴a_n=2a_n-1，
∴{a_n}是首項(xiàng)a₁=1、公比q=2等比數(shù)列，
∴an=2n-1．…（6分）
（2）由（1）得an=2n-1，
S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，
S_n=

1-2n

1-2

，
∴Sn=2n-1，
∴bn=n×2n-n，…（7分）
∴Tn=(n-1)×2n+1+2-

n(n+1)

2

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分組求和法的合理運(yùn)用．