Question

已知圓O：x²+y²=4，動點P（t，0）（-2≤t≤2），曲線C：y=3|x-t|．曲線C與圓O相交于兩個不同的點M，N
（1）若t=1，求線段MN的中點P的坐標(biāo)；
（2）求證：線段MN的長度為定值；
（3）若，m，n，s，p均為正整數(shù)．試問：曲線C上是否存在兩點A（m，n），B（s，p）（11），使得圓O上任意一點到點A的距離與到點B的距離之比為定值k（k＞1）？若存在請求出所有的點A，B；若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將曲線C的方程代入圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用中點坐標(biāo)公式即可求得P的坐標(biāo)；
（2）利用將曲線C的方程代入圓的方程，消去y得到的方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，利用兩點間的距離公式即可求出線段MN的長度為定值；
（3）對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在兩點A（m，n），B（s，p）（11），使得圓O上任意一點到點A的距離與到點B的距離之比為定值，再建立等式求出A，B的坐標(biāo)，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．
解答：解：（1）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（x₁＜1＜x₂），P（x，y）
由，
所以=
所以---------------------------（6分）
（2），
，
，
=，
，為定值．---------------------------------（4分）
（3）設(shè)，

消去m，n得
所以s=p=1，，此時m=n=2，又A（2，2），B（1，1）在曲線C上
所以僅有A（2，2），B（1，1）符合．----------------------------------------（6分）
點評：本小題主要考查中點坐標(biāo)公式、兩點間的距離公式極值、導(dǎo)數(shù)、直線與圓的位置關(guān)系等基本知識，考查方程思想、化歸以及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問題、解決問題的能力．