Question

15．某研究小組在電腦上進(jìn)行人工降雨模擬試驗(yàn)，準(zhǔn)備用A、B、C三種人工降雨方式分別對(duì)甲、乙、丙三地實(shí)施人工降雨，其試驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如表

方式	實(shí)施地點(diǎn)	大雨	中雨	小雨	模擬實(shí)驗(yàn)總次數(shù)
A	甲	4次	6次	2次	12次
B	乙	3次	6次	3次	12次
C	丙	2次	2次	8次	12次

假定對(duì)甲、乙、丙三地實(shí)施的人工降雨彼此互不影響，請(qǐng)你根據(jù)人工降雨模擬試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)
（I）求甲、乙、丙三地都恰為中雨的概率；
（Ⅱ）考慮到旱情和水土流失，如果甲地恰需中雨即達(dá)到理想狀態(tài)，乙地必須是大雨才達(dá)到理想狀態(tài)，丙地只能是小雨或中雨即達(dá)到理想狀態(tài)，記“甲、乙、丙三地中達(dá)到理想狀態(tài)的個(gè)數(shù)”為隨機(jī)變量ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由人工降雨模擬試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，用A，B，C三種人工降雨方式分別對(duì)甲、乙、丙三地實(shí)施人工降雨，求出大雨、中雨、小雨的概率分布表，由此利用相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式能求出甲、乙、丙三地都恰為中雨的概率．
（Ⅱ）設(shè)甲、乙、丙三地達(dá)到理想狀態(tài)的概率分別為p₁，p₂，p₃，則${p}_{1}=p（{A}_{2}）=\frac{1}{2}$，p₂=p（B₁）=$\frac{1}{4}$，p₃=P（C₂）+P（C₃）=$\frac{5}{6}$，ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）由人工降雨模擬試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，用A，B，C三種人工降雨方式分別對(duì)甲、乙、丙三地實(shí)施人工降雨，
得到大雨、中雨、小雨的概率如下表：

方式	實(shí)施地點(diǎn)	大雨	中雨	小雨
A	甲	P（A1）=$\frac{1}{3}$	P（A2）=$\frac{1}{2}$	P（A3）=$\frac{1}{6}$
B	乙	P（B1）=$\frac{1}{4}$	P（B2）=$\frac{1}{2}$	P（B3）=$\frac{1}{4}$
C	丙	P（C1）=$\frac{1}{6}$	P（C2）=$\frac{1}{6}$	P（C3）=$\frac{2}{3}$

記“甲、乙、丙三地都恰為中雨”為事件E，
則P（E）=P（A₂）P（B₂）P（C₂）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{6}$=$\frac{1}{24}$．
（Ⅱ）設(shè)甲、乙、丙三地達(dá)到理想狀態(tài)的概率分別為p₁，p₂，p₃，
則${p}_{1}=p（{A}_{2}）=\frac{1}{2}$，p₂=p（B₁）=$\frac{1}{4}$，p₃=P（C₂）+P（C₃）=$\frac{5}{6}$，
ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=（1-p₁）（1-p₂）（1-p₃）=$\frac{1}{2}×\frac{3}{4}×\frac{1}{6}$=$\frac{3}{48}$，
P（ξ=1）=p₁（1-p₂）（1-p₃）+（1-p₁）p₂（1-p₃）+（1-p₁）（1-p₂）p₃
=$\frac{1}{2}×\frac{3}{4}×\frac{1}{6}$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{4}×\frac{1}{6}$+$\frac{1}{2}×\frac{3}{4}×\frac{5}{6}$=$\frac{19}{48}$，
P（ξ=2）=p₁p₂（1-p₃）+（1-p₁）p₂p₃+p₁（1-p₂）p₃
=$\frac{1}{2}×\frac{1}{4}×\frac{1}{6}+\frac{1}{2}×\frac{1}{4}×\frac{5}{6}$+$\frac{1}{2}×\frac{3}{4}×\frac{5}{6}$=$\frac{21}{48}$，
P（ξ=3）=p₁p₂p₃=$\frac{1}{2}×\frac{1}{4}×\frac{5}{6}$=$\frac{5}{48}$，
∴隨機(jī)變量ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{3}{48}$	$\frac{19}{48}$	$\frac{21}{48}$	$\frac{5}{48}$

Eξ=$\frac{3}{48}×0+\frac{18}{49}×1+\frac{21}{48}×2+\frac{5}{48}×3$=$\frac{19}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．