Question

5．已知a+b=1，（a+$\frac{1}{2}$）（b+$\frac{1}{2}$）≥0，求證：$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$+$\sqrt{b+\frac{1}{2}}$≤2．

Answer 1

分析 運用分析法證明，要證原不等式成立，可通過兩邊平方，化簡整理，再由配方即可得證．

解答 證明：由a+b=1，（a+$\frac{1}{2}$）（b+$\frac{1}{2}$）≥0，
可得a+$\frac{1}{2}$≥0，b+$\frac{1}{2}$≥0，
要證$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$+$\sqrt{b+\frac{1}{2}}$≤2，
兩邊平方即證a+b+1+2$\sqrt{（a+\frac{1}{2}）（b+\frac{1}{2}）}$≤4，
即為$\sqrt{（a+\frac{1}{2}）（b+\frac{1}{2}）}$≤1，
再兩邊平方可得（a+$\frac{1}{2}$）（b+$\frac{1}{2}$）≤1，
展開即為ab+$\frac{1}{2}$（a+b）+$\frac{1}{4}$≤1，代入a+b=1，
可得ab≤$\frac{1}{4}$，即有a（1-a）-$\frac{1}{4}$≤0，
即為-（a-$\frac{1}{2}$）²≤0，顯然成立．
則原不等式成立．

點評 本題考查不等式的證明，運用了分析法證明，這是常用方法，本題也可運用柯西不等式：（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²），考查推理能力，屬于中檔題．